第三百三十三章 莫比乌斯反演（数论）

    奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯自打跟克莱因讨论的翻转这个事情以来，自己在很多问题上都想找到各种奇思妙想的翻转。

    其中一个是关于数论中因子分解的翻转，就是莫比乌斯反演。

    莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。

    莫比乌斯研究如下函数：

    F(1)=f(1)

    F(2)=f(1) f(2)

    F(3)=f(1) f(3)

    F(4)=f(1) f(2) f(4)

    F(5)=f(1) f(5)

    F(6)=f(1) f(2) f(3) f(6)

    F(7)=f(1) f(7)

    F(8)=f(1) f(2) f(4) f(8)

    反演变化过来时以下情况：

    f(1)=F(1)

    f(2)=F(2)-F(1)

    f(3)=F(3)-F(1)

    f(4)=F(4)-F(2)

    f(5)=F(5)-F(1)

    f(6)=F(6)-F(3)-F(2) F(1)

    f(7)=F(7)-F(1)

    f(8)=F(8)-F(4)

    后来的莫比乌斯函数用在黎曼猜想J（x）公式里。

    μ(1)=1

    μ(n)=0(如果n可以被任一素数的平方整除)

    μ(n)=-1(如果n是奇数个不同素数的乘积)

    μ(n)=1(如果n是偶数个不同素数的乘积)。

    因此知道了J(x)就可以计算出π(x)，即素数的分布函数。把这些步骤连接在一起，我们看到，从ζ(x)到J(x)，再从J(x)到π(x)，素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了Riemannζ函数之中。这就是Riemann研究素数分布的基本思路。

    莫比乌斯反演用在黎曼猜想上，就充分说明了在黎曼猜想上，有一个更加深刻的反演的东西，这也许是莫比乌斯和克莱因要寻找的那种反演的东西。