第一百八十二章 裴蜀定理（数论）

    在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。

    裴蜀定理说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x以及y的线性的丢番图方程（称为裴蜀等式）。

    在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

    ax by=m

    有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。

    例如，12和42的最大公因子是6，则方程12x 42y=6有解。事实上有（-3）×12 1×42=6及4×12 (-1）×42=6。

    特别来说，方程ax by=1有解当且仅当整数a和b互素。

    裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：d其实就是最小的可以写成ax by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。